درس 3: تساوی کسرها

یک مربّع، دو بار تافعّالیتصفحه ۵۲ کتاب درسی

یک مربّع روی کاغذ بکشید و ببُریدش. با تا کردن، آن را به ۴ قسمت مساوی تقسیم کنید و ۱ قسمت را رنگ کنید. چه کسری رنگ شده است؟ ۱۴.

حالا بدون اینکه رنگ را عوض کنید، هر قسمت را دوباره تا بزنید تا هر کدام به ۴ قسمت کوچک‌تر تقسیم شود. مربّع شما حالا ۱۶ قسمت مساوی دارد و ۴ قسمتش رنگی است.

• قبل از تای دوم: ۱ قسمت از ۴ قسمت → ۱۴
• بعد از تای دوم: ۴ قسمت از ۱۶ قسمت → ۴۱۶

به کاغذ دست نزدید و رنگ تازه‌ای نکشیدید؛ فقط خط‌های بیشتری اضافه شد. پس ۱۴ = ۴۱۶.

چرا مساوی‌اند؟فعّالیتصفحه ۵۲ کتاب درسی

چون مقدارِ رنگ‌شده همان است که بود. تا زدنِ دوباره، هم قسمت‌های کل را بیشتر کرد و هم قسمت‌های رنگی را — هر دو به یک نسبت.

همین اتفاق برای هر کسر دیگری هم می‌افتد. اگر هر قسمت را به دو نیم تقسیم کنید، هم صورت و هم مخرج دو برابر می‌شوند و اندازه سرِ جایش می‌ماند.

هر چه قسمت‌ها ریزتر می‌شوند، تعدادشان بیشتر می‌شود ولی هر کدام کوچک‌تر — پس حاصل عوض نمی‌شود.

کِی کل رنگ می‌شود؟کار در کلاسصفحه ۵۳ کتاب درسی

اگر همه‌ی قسمت‌های یک شکل رنگ شود، صورت و مخرج با هم برابر می‌شوند: ۳۳ یا ۴۴ یا ۸۸.

همه‌ی این‌ها یعنی یک واحد کامل. پس به‌جای ۴۴ می‌شود ساده بنویسیم ۱.

و برعکسش هم درست است: عدد ۱ را هر وقت لازم شد می‌شود به شکل کسر نوشت — با هر مخرجی که بخواهید، به شرطی که صورت هم همان باشد.

کار در کلاسصفحه ۵۳ کتاب درسی

1. الف) دو شکلِ هم‌اندازه داریم؛ یکی ۲۴ رنگ شده و دیگری ۱۲. آیا سطح رنگ‌شده برابر است؟ چرا؟

   پاسخ: بله. ۲۴ یعنی ۲ قسمت از ۴ قسمت، که همان نصف است — و ۱۲ هم نصف است.

2. ب) کسر مساوی با ۱۳ که مخرجش ۶ باشد کدام است؟

   پاسخ: ۲۶. هر قسمت را به دو نیم کردیم، پس مخرج از ۳ به ۶ رفت و صورت از ۱ به ۲.

3. ج) چرا ۶۱۴ با ۳۷ مساوی است؟

   پاسخ: چون اگر در ۳۷ هر قسمت را دو نیم کنیم، ۷ قسمت می‌شود ۱۴ قسمت و ۳ قسمتِ رنگی می‌شود ۶ قسمت.

با پرگار امتحان کنیدانجام بدهصفحه ۵۳ کتاب درسی

دهانه‌ی پرگار را ۲ سانتی‌متر باز کنید و دایره‌ای به شعاع ۲ سانتی‌متر بکشید. حالا آن را به ۴ قسمت مساوی تقسیم کنید.

دو خط باید از مرکز رد شوند و بر هم عمود باشند. اگر خط‌ها از مرکز نگذرند، چهار تکه به دست می‌آید اما هم‌اندازه نیستند — و آن‌وقت دیگر نمی‌شود گفت هر تکه ۱۴ است.

«۴ قسمت» کافی نیست؛ باید «۴ قسمت مساوی» باشد. همین کلمه است که کسر را معنادار می‌کند.

یک ایده‌ی تازه: زاویهکامل کنصفحه ۵۴ کتاب درسی

به مسیر عقربه‌ی بزرگ ساعت نگاه کنید. وقتی ۱۰ دقیقه حرکت می‌کند، بین جای اولش و جای تازه‌اش یک بازشدگی می‌ماند؛ به این بازشدگی زاویه می‌گوییم.

باز شدنِ دو تیغه‌ی قیچی هم یک زاویه است. هر جا دو خط از یک نقطه شروع شوند و از هم باز شوند، زاویه ساخته می‌شود.

مثلث سه زاویه دارد — یکی سرِ هر گوشه.

اشتباه‌های رایج

• جمع کردن یک عدد با صورت و مخرج به خیال ساختن کسر مساوی؛ فقط ریزتر یا درشت‌تر کردنِ قسمت‌ها مجاز است.
• مقایسه‌ی سطح رنگ‌شده‌ی دو شکل با اندازه‌های متفاوت؛ کسرهای مساوی وقتی معنی دارند که کلِ هر دو یک اندازه باشد.
• تقسیم کردن شکل به قسمت‌های نامساوی و بعد شمردن آن‌ها به‌عنوان مخرج.