درس 4: مقایسه‌ی کسرها

حسین و مهدیفعّالیتصفحه ۵۵ کتاب درسی

پدر به حسین و مهدی پول مساوی داد. مهدی ۱۲ پولش را صدقه داد و حسین ۱۳ پولش را. کدامشان بیشتر صدقه داده است؟

دو نوارِ هم‌اندازه بکشید. یکی را به ۲ قسمت مساوی تقسیم کنید و ۱ قسمت را رنگ کنید؛ دیگری را به ۳ قسمت و باز ۱ قسمت را رنگ کنید. نوار اول رنگِ بیشتری دارد.

• ۱۲ بزرگ‌تر از ۱۳ است، پس مهدی بیشتر صدقه داده است.

هر چه یک چیز را به قسمت‌های بیشتری تقسیم کنید، هر قسمت کوچک‌تر می‌شود. یک قسمت از ۳ تا، از یک قسمت از ۲ تا کمتر است.

مهدیه و زهرافعّالیتصفحه ۵۵ کتاب درسی

مادر به مهدیه و زهرا هم پول مساوی داد. مهدیه ۲۳ پولش را صدقه داد و زهرا ۱۳ پولش را.

اینجا کار ساده‌تر است، چون هر دو کسر مخرجِ یکسان دارند: هر دو پول به ۳ قسمت مساوی تقسیم شده است. پس فقط باید ببینیم چند قسمت برداشته شده.

• ۲۳ بزرگ‌تر از ۱۳ است، پس مهدیه بیشتر صدقه داده است.

دو قاعده که از این دو داستان درمی‌آیدفعّالیتصفحه ۵۵ کتاب درسی

و اگر نه مخرج‌ها یکی باشند و نه صورت‌ها؟ آن‌وقت شکل می‌کشیم، یا هر کسر را با نصف می‌سنجیم.

سنجیدن با نصفکار در کلاسصفحه ۵۶ کتاب درسی

یک راهِ همیشه‌جواب‌ده این است که بپرسیم هر کسر از نصف بیشتر است یا کمتر. برای این کار، مخرج را نصف کنید و با صورت مقایسه‌اش کنید.

مثلاً در ۳۴: نصفِ ۴ می‌شود ۲، و صورت ۳ از ۲ بیشتر است، پس ۳۴ از نصف بیشتر است. در ۲۶: نصفِ ۶ می‌شود ۳، و صورت ۲ از ۳ کمتر است، پس ۲۶ از نصف کمتر است.

• پس ۳۴ بزرگ‌تر از ۲۶ است، بی‌آنکه لازم باشد شکل بکشیم.

کار در کلاسصفحه ۵۶ کتاب درسی

1. الف) بین ۱۲ و ۲۵ کدام بزرگ‌تر است؟

   پاسخ: ۱۲. نصفِ ۵ می‌شود ۲ و نیم؛ ۲۵ فقط ۲ قسمت دارد، پس از نصف کمتر است.

2. ب) بین ۱۳ و ۲۶ کدام بزرگ‌تر است؟

   پاسخ: هیچ‌کدام؛ مساوی‌اند. اگر هر قسمت از ۱۳ را دو نیم کنیم، همان ۲۶ می‌شود.

3. ج) بین ۲۵ و ۱۳ کدام بزرگ‌تر است؟

   پاسخ: ۲۵. با شکل: دو نوارِ هم‌اندازه بکشید؛ ۲ قسمت از ۵ قسمت، از ۱ قسمت از ۳ قسمت کمی بیشتر می‌شود.

تلهٔ بزرگ: کل‌ها باید یکی باشندتمرینصفحه ۵۷ کتاب درسی

از شربتِ لیوان ۱۲ خورده شده و از شربتِ پارچ هم ۱۲. آیا مقدار شربتِ باقی‌مانده در لیوان و پارچ مساوی است؟

نه. هر دو کسر یکی است، اما کل‌ها یکی نیستند: پارچ خیلی بزرگ‌تر از لیوان است. نصفِ پارچ چند برابرِ نصفِ لیوان می‌شود.

کسر همیشه می‌گوید «چه بخشی از کل». تا وقتی ندانیم کل چیست، دو کسر را نمی‌شود با هم سنجید.

زاویه‌ی راستانجام بدهصفحه ۵۶ کتاب درسی

اگر عقربه‌ی بزرگ ساعت ۱۵ دقیقه حرکت کند — یعنی ۱۴ دورِ ساعت — همیشه یک زاویه‌ی خاص می‌سازد که به آن زاویه‌ی راست یا قائمه می‌گویند.

دیوار خانه باید با زمین زاویه‌ی راست بسازد، وگرنه کج می‌ایستد. بنّاها برای مطمئن شدن از شاقول و تراز استفاده می‌کنند، و ما در کلاس با گونیا زاویه‌ی راست را تشخیص می‌دهیم.

۱۴ دورِ کامل، همان زاویه‌ی راست است — کسر و هندسه اینجا به هم می‌رسند.

اشتباه‌های رایج

• مقایسه‌ی دو کسر بدون توجه به اینکه کل‌هایشان هم‌اندازه هستند یا نه.
• این تصور که مخرجِ بزرگ‌تر همیشه کسرِ بزرگ‌تر می‌سازد؛ درست برعکس است، مخرجِ بزرگ‌تر قسمت‌ها را ریزتر می‌کند.
• مقایسه‌ی صورت‌ها وقتی مخرج‌ها فرق دارند؛ ۲۹ از ۱۲ کوچک‌تر است، هرچند صورتش بزرگ‌تر است.