درس 1: کسر

زمینِ علی‌آقافعّالیتصفحه ۴۶ کتاب درسی

علی‌آقا کشاورز است و یک قطعه زمین دارد. نیمی از زمینش را گندم کاشته است. نیمِ دیگر را دو قسمت کرده و در یکی یونجه و در دیگری جو کاشته است.

حالا زمین را با هم بشماریم. آن نیمِ دوم به دو تکه شده است، پس اگر نیمِ گندم را هم به همان اندازه تکه کنیم، کل زمین ۴ قسمت هم‌اندازه می‌شود.

• گندم: ۲ قسمت از ۴ قسمت مساوی
• یونجه: ۱ قسمت از ۴ قسمت مساوی
• جو: ۱ قسمت از ۴ قسمت مساوی

تا اینجا هیچ عدد تازه‌ای ننوشتیم؛ فقط شمردیم. کسر از همین شمردن بیرون می‌آید.

حالا برایش عدد بنویسیمفعّالیتصفحه ۴۶ کتاب درسی

در ریاضی، «۲ قسمت از ۳ قسمت مساوی» را با ۲۳ نشان می‌دهیم، به آن کسر می‌گوییم و «دو سوم» می‌خوانیمش.

به شکلِ نوشتنش دقّت کنید: یک عدد بالا، یک خطِ افقی، و یک عدد پایین. هر کسر همین سه بخش را دارد و هر بخش کار خودش را می‌کند.

برای فهمیدن هر کسر، اول عدد پایین را ببینید تا بدانید هر قسمت چقدر است، بعد عدد بالا را تا بدانید چند تا از آن قسمت‌ها را داریم.

کسر برای اندازه هم هستفعّالیتصفحه ۴۶ کتاب درسی

کسر فقط برای زمین و کیک نیست. هر جا چیزی به قسمت‌های مساوی تقسیم شده باشد، می‌شود با کسر از آن حرف زد — از جمله وقتی داریم اندازه می‌گیریم.

فاطمه یک نوار کاغذی را خودش به قسمت‌های مساوی درجه‌بندی کرد و با آن طول یک گیره‌ی کاغذ و یک پاک‌کن را اندازه گرفت. جواب هر کدام یک کسر شد: چند قسمت از چند قسمت مساوی.

نوار کاغذیِ فاطمه هیچ عدد و واحدی روی خودش ندارد؛ فقط قسمت‌های مساوی. برای گفتنِ یک اندازه با کسر، همین کافی است.

کار در کلاسصفحه ۴۷ کتاب درسی

1. الف) شکلی به ۴ قسمت مساوی تقسیم شده و ۳ قسمتش رنگ شده است. چه کسری رنگ شده است؟

   پاسخ: ۳۴ — می‌خوانیم «سه چهارم».

2. ب) شکلی به ۸ قسمت مساوی تقسیم شده و ۷ قسمتش رنگ شده است. چه کسری رنگ شده و چه کسری رنگ‌نشده مانده است؟

   پاسخ: رنگ‌شده ۷۸ و رنگ‌نشده ۱۸.

3. ج) اگر هر ۵ قسمتِ یک شکلِ ۵ قسمتی رنگ شود، چه کسری رنگ شده است؟

   پاسخ: ۵۵ — یعنی تمام شکل، همان یک واحد کامل.

وقتی دقیق نیست: کسر تقریبیتمرینصفحه ۴۸ کتاب درسی

همیشه کسی قسمت‌ها را برایمان جدا نکرده است. گاهی فقط با نگاه کردن می‌گوییم «تقریباً نصف» یا «تقریباً یک‌چهارم». به این می‌گویند کسر تقریبی.

برای حدس زدن، از خودتان بپرسید کدام تقسیمِ ساده به آنچه می‌بینید نزدیک‌تر است: نصف؟ یک‌سوم؟ یک‌چهارم؟

یک کسر، دو شکلِ متفاوتتمرینصفحه ۴۸ کتاب درسی

کتاب شش دایره‌ی رنگ‌شده را کنار شش مستطیل گذاشته است: کسری را که هر دایره نشان می‌دهد بنویسید، بعد به همان اندازه از مستطیلِ کنارش را رنگ کنید.

دایره‌های سمت راست ۱۲ و ۲۳ و ۳۴ را نشان می‌دهند و دایره‌های سمت دیگر ۱۴ و ۳۶ و ۴۸ را.

به مستطیل‌ها هم نگاه کنید: بعضی از قبل به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم شده‌اند و بعضی یک مستطیلِ دست‌نخورده‌اند. آن‌جا اول باید خودتان به تعدادِ مخرج قسمتِ مساوی بسازید، بعد رنگ کنید.

دایره و مستطیل هیچ شباهتی به هم ندارند، ولی می‌توانند یک کسر را نشان بدهند. کسر مالِ شکل نیست؛ مالِ نسبتِ «چند قسمت از چند قسمت» است.

اندازه‌گیری با خط‌کشتمرینصفحه ۴۸ کتاب درسی

روی خط‌کش هم همان اتفاقِ نوار کاغذی افتاده است. هر سانتی‌متر به ۱۰ قسمت مساوی تقسیم شده و به هر قسمت یک میلی‌متر می‌گوییم.

پس طول این مورچه، چند قسمت از ۱۰ قسمتِ یک سانتی‌متر است — و همین یعنی یک کسر با مخرج ۱۰.

شکل‌های نامنظم هم می‌شودتمرینصفحه ۴۸ کتاب درسی

حتی وقتی شکل گوشه‌های نامرتب دارد، باز هم می‌شود تقریب زد. کافی است بپرسیم رنگ‌شده به کدام قسمتِ ساده نزدیک‌تر است.

خودت امتحان کنتمرینصفحه ۴۸ کتاب درسی

یک نوار کاغذی درست کنید و با تا کردن، آن را به ۲ و بعد ۳ و بعد ۴ قسمت مساوی تقسیم کنید. بعد توضیح دهید هر بار چه کار کردید.

1. ۱برای ۲ قسمت: نوار را از وسط تا بزنید تا دو سرش روی هم بیفتد.
2. ۲برای ۴ قسمت: همان نوارِ تاشده را یک بار دیگر از وسط تا بزنید.
3. ۳برای ۳ قسمت: تا زدن از وسط جواب نمی‌دهد. نوار را کم‌کم مثل حرف «Z» جمع کنید تا هر سه لایه هم‌اندازه شوند، بعد تا را محکم کنید.

چرا ۳ قسمت سخت‌تر از ۴ قسمت است؟ چون با نصف کردن فقط ۲ و ۴ و ۸ به دست می‌آید. برای ۳ باید کلِ نوار را با هم بسنجید — و همین سختی، معنیِ «قسمت‌های مساوی» را جا می‌اندازد.

اشتباه‌های رایج

• تقسیم کردن به قسمت‌های نامساوی و بعد اسم بردن کسر؛ اگر تکه‌ها هم‌اندازه نباشند، «یک‌چهارم» معنایی ندارد.
• جابه‌جا نوشتن صورت و مخرج؛ عدد پایین همیشه کلِ قسمت‌هاست.
• شمردن فقط قسمت‌های رنگ‌شده و یادرفتنِ اینکه مخرج، همه‌ی قسمت‌هاست — نه فقط قسمت‌های باقی‌مانده.